MAYO

FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

Definición Una función f de dos variables es una regla que asigna a cada par ordenado de números reales (x, y) de un conjunto D un número real único que se denota con f (x, y). El conjunto D es el dominio de f y su rango es el conjunto de valores que toma f, es decir, { f (x,y) | (x, y) € D}

Si una función f está definida por una fórmula y no se especifica dominio alguno, entonces se entiende que el dominio de f será el conjunto de los pares (x, y) para el cual la expresión dada es un número muy bien definido.

Dominio y gráfica de funciones

El conjunto D es llamado el dominio de la función y el conjunto de todos los valores de la función es el rango de la función.
Así como la gráfica de una función  f  de una variable es una curva C con ecuación y = f x, la gráfica de una función f de dos variables es una superficie S cuya ecuación es z = f (x, y). Puede representar la gráfica S de f directamente encima o abajo de su dominio D en el plano xy.

Para realizar el análisis del dominio de una función se requiere de:

1.- Análisis matemático

2.- Análisis grafico

3.- Análisis descriptivo.

Curvas de Nivel.

Una curva de nivel es el conjunto de todos los puntos en el dominio de f en el cual f toma un valor dado k. En otras palabras, señala dónde tiene una altura k la gráfica de f.

Si las curvas de nivel se representan en R2 entonces se denominan curvas de contorno.

Si w= f (x,y,z) y w=k donde k es una constante k= f (x,y,z) representa una superficie de nivel.

Si u= f (x,y,z,w) y u=k donde k es constante k= f (x,y,z,w) representa una hipersuperficie de nivel.

LÍMITES Y CONTINUIDAD

Definición Sea f una función de dos variables cuyo dominio D contiene, entre otros, puntos arbitrariamente cercanos a (a, b). Entonces, el límite de f (x,y) cuando tiende a (a, b) es L por lo que se escribe.

1. Si por 2 caminos o trayectorias el valor del límite tiene un valor diferente, entonces se concluye que no existe el límite.

2. Si por 2 o más caminos o trayectorias el valor del límite tiene el mismo valor se supone que el limite existe y se debe proceder a demostrar su existencia.

3. Los caminos elegidos para evaluar el limite deben contener al punto (a,b) de interés.

Se dice que f(x,y) es continua en (a,b) si se cumple:

Si no se cumple alguna de las condiciones entonces se dice que f(x,y) es discontinua en (a,b) y puede ser:

Discontinua Inevitable:

Discontinua Evitable:

DERIVADAS PARCIALES

Si f es una función de dos variables x y y, suponga que sólo hace variar x mientras mantiene fija a y, y =b, donde b es una constante. Entonces está considerando en realidad una función de una sola variable x, a saber, g(x) = f(x,b). Si g tiene derivada en a, entonces se denomina derivada parcial de f  con respecto a x en (a, b)  la denota con f _x(a, b). Por consiguiente.

Para calcular derivadas parciales, todo lo que debe hacer es recordar que, según la ecuación 1, la derivada parcial con respecto a x es justamente la derivada ordinaria de la función g de una sola variable que obtiene al mantener fija a y. Por lo tanto, se encuentra la regla siguiente.

1. Para determinar f_x, conservar a y constante y derivar f (x, y), y con respecto a x.

2. Para determinar f_y, conservar a x constante y derivar f (x, y), y con respecto a y.

INTERPRETACIONES DE DERIVADAS PARCIALES

Las derivadas parciales de f en (a, b) son las pendientes de las tangentes a C₁ y C₂

Interpretación Física

Las derivadas parciales de z = f(x,y) representan las razones de cambio de la variable z cuando "x" varia manteniendo fijo "y". En el otro caso, la razón de cambio de z cuando "y" varia manteniendo fijo "x".

Se puede hablar de etapas o índices de cambio.

Planos Tangentes a z= f(x,y)

Supongamos que f(x,y) tiene derivadas parciales de primer orden continuas. Entonces el plano tangente a la superficie z=f(x,y) en el punto P(a,b, f(a,b) ) es el plano que pasa por P que contiene las recta tangentes a las 2 curvas.

El vector tangente de este plano y la ecuación del plano tangente :

DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR

Se llaman segundas derivadas parciales de f. Si z= f (x,y) use la notación siguiente: