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Geometría Analítica en el Espacio:

Revisamos conceptos de Geometría analítica en el espacio, para para poder entender de mejor manera los temas siguientes del curso en el espacio R³, para esto fue de gran importancia recordar la geometría analítica en R² así como  funciones implícitas de 2 variables, tipos de variables, graficas, llegando a determinar 2 conclusiones:

  " Cada función representa una curva en R².

  "La intersección de 2 curvas genera 1 o más puntos.

Entonces para R³

Revisamos las variables independientes y dependientes para R³, vimos que son funciones implícitas de 3 variables.

Estudiamos las distintas superficies que se pueden generar por ejemplo:
 "F(x,y)=0 representa una superficie cilíndrica con generatriz paralela al eje z.
 "x^2+y^2+z^2-25=0 representa la ecuación de una esfera de radio 5 en R² pero en R³ representa una superficie esférica.

Determinamos las siguientes conclusiones:

.

  "Si F(x,y,z)=0 es una superficie cilíndrica.

       " Si tenemos un sistema de funciones implícitas en R³, representa la intersección de 2 superficies.

     "La intersección de 2 ecuaciones implícitas de 3 variables genera curvas tales como la recta, circunferencias, elipses, hipérbolas, etc.

  "La intersección de 3 superficies cilíndricas genera PUNTOS.

A continuación se vio el plano, todo lo respectivo a ecuaciones, teniendo así:

Ec. Vectorial: (r-r0) . n =0

Ec. General: Ax+By+Cz+D=0

Ec. Segmentaria: x/a + y/b + z/c = 1

Se continuo con el planteamiento y desarrollo de las ecuación del plano,
Ec. Normal: 0= xcosα + ycosβ + zcosγ - p
También se vio la normalización de la ecuación general del plano y el factor normalizante, concluyéndose que:

Adicional, se reviso la desviación de un punto respecto a un plano, donde se concluyo:

*d(+) cuando el punto y el origen están en lados opuestos con respecto al plano.

*d(-) cuando el punto y el origen están en el mismo lado con respecto al plano.

Distancia de un punto a un plano.

Se realizaron ejemplos respecto al tema y de refuerzo.

Plano determinado por 3 puntos: (r-r1).(r2-r1)*(r3-r1)=0

Aquí se dio dos observaciones:

*Si el producto mixto es igual a cero, los vectores son coplanares.

*El producto mixto geometricamente representa el volumen del paralelepípedo cuyas aristas son 3 vectores.

*Punto y vector director:

Ec. Vectorial: r=r0+ta

Ec. Paramétricas: x=xo+tl     y=yo+tm     z=z0+tn

Toda recta es un caso particular de una curva alabeada

*2 puntos:

Ec. Vectorial: r=r1+t(r2-r1)

Ec. Paramétricas: 

    x= x1+(x2-x1)t

    y= y1+(y2-y1)t

    z= z1+(z2-z1)t

Ecuación de la recta a partir de la intersección de 2 planos. 

Nos permite definir tanto la ecuación cartesiana, paramétricas y vectorial, obteniendo:

cartesianas: 

vectorial:

Haz de Planos, llegando a establecer la ecuación:

                                     

Distancia de un punto a un plano.

Funciones Vectoriales de Variable Real.

Definido como: r=I-> R^n: IcR

                       t-> F(t) =(f1(t), f2(t),...fn(t))

donde fi(t) es una función real.

Características:

*El dominio de F(t) es la intersección de los dominios de las funciones.

*El rango es la unión de los rangos de cada función.

Para una función en R3 se tiene:

F(t)= (x(t), y(t), z(t))

las funciones paramétricas son:

x(t)= F1(t)

y(t)= F2(t)

z(t)= F3(t)

Operaciones con funciones de variable real.

A partir de F(t) y G(t)

*(F+G)(t)= F(t) + G(t)

*(wF)(t) = w*F(t) 

*<F.G>(t) = <F(t) . G(t)>

*|F(t)| = (F(t))^2)^0.5

*<F*G>(t) = <F(t) * G(t)>

*|F o h | = F[h(t)]

Limites y Continuidad.

Para calcular el limite de F(t), debemos calcular el limite de cada f(t).

Por otro lado, existen 3 condiciones que se debe cumplir para que una función sea continua.

Tipos de Discontinuidad:

*Evitable: cuando no se cumple 1 y 3 se debe redefinir.

*Inevitable: cuando no se cumple 2 y tampoco 1 y 3.

Derivada:

Interpretación física y geométrica de la derivada.

Interpretación Física:

                   1.-F(t) se denomina vector tangente a la curva C en el punto Po(t-to), F'(t) representa la                               recta tangente a C en ese punto.
                   2.-El vector velocidad F(t) determina la recta tangente a C en ese punto.
                   3.-El vector aceleración es igual a F''(t)
                   4.-En R3, la rapidez se define como v=F'(t)

Interpretación Geométrica:

Aplicaciones de la derivada:
*Vector tangente unitario y normal principal
*Tangente unitario
*Normal principal

Integrales:

Triedro móvil:

*Cada par de vectores forman un plano, estos planos forman el triedro móvil.

-Plano Osculador: T y N
B1(x-x0) + B2(y-yo) + B3(z-zo) = 0

-Plano Normal: N y B
T1(x-x0) + T2(y-yo) + T3(z-zo) = 0

-Plano Rectificante: B y T
N1(x-x0) + N2(y-yo) + N3(z-zo) = 0

-Recta Tangente:
(x-x0)/T1 = (y-y0)/T2 =  (z-z0)/T3 

-Recta Normal Principal:
(x-x0)/N1 = (y-y0)/N2 =  (z-z0)/N3 

-Recta Binormal:
(x-x0)/B1 = (y-y0)/B2 =  (z-z0)/B3 

Gráficas de funciones vectoriales:

1.- Hélice circular

2.-Espiral toroidal

3.- Otras gráficas

Clases de curvatura

Curvatura de Flexión (k) Se define como la razón instantánea de cambio de dirección de los puntos de la curva C, con respecto a la longitud de arco.  

Curvatura de Torsión (T) Esta nos indica el alejamiento y acecamiento de la curva al plano osculador.