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CONTEXTO

"Las Matemáticas son el alfabeto con el cual Dios ha escrito el Universo" Galileo Galilei

Mi nombre es Diego Escorza, soy estudiante de la carrera de Ingeniería en Geología de la Escuela Politécnica Nacional del Ecuador, actualmente me encuentro cursando segundo semestre. Mis aspiraciones son llegar a obtener el título de Ingeniería y, a través de los conocimientos adquiridos en la universidad, ejercer profesionalmente con esmero, rectitud y afán de servicio.

Considero que el Cálculo Vectorial es de suma importancia para la formación de un Ingeniero, además de ser una materia fundamental dentro del ámbito de las ciencias exactas, puesto que a través de su correcto conocimiento y de sus aplicaciones prácticas, la comprensión de las realidades físicas y geológicas, en el caso de mi carrera, será más amplia y precisa. 

ABRIL

Geometría Analítica en el Espacio:

Revisamos conceptos de Geometría analítica en el espacio, para para poder entender de mejor manera los temas siguientes del curso en el espacio R³, para esto fue de gran importancia recordar la geometría analítica en R² así como  funciones implícitas de 2 variables, tipos de variables, graficas, llegando a determinar 2 conclusiones:

  " Cada función representa una curva en R².

  "La intersección de 2 curvas genera 1 o más puntos.

Entonces para R³

Revisamos las variables independientes y dependientes para R³, vimos que son funciones implícitas de 3 variables.

Estudiamos las distintas superficies que se pueden generar por ejemplo:
 "F(x,y)=0 representa una superficie cilíndrica con generatriz paralela al eje z.
 "x^2+y^2+z^2-25=0 representa la ecuación de una esfera de radio 5 en R² pero en R³ representa una superficie esférica.

Determinamos las siguientes conclusiones:

.

  "Si F(x,y,z)=0 es una superficie cilíndrica.

       " Si tenemos un sistema de funciones implícitas en R³, representa la intersección de 2 superficies.

     "La intersección de 2 ecuaciones implícitas de 3 variables genera curvas tales como la recta, circunferencias, elipses, hipérbolas, etc.

  "La intersección de 3 superficies cilíndricas genera PUNTOS.

A continuación se vio el plano, todo lo respectivo a ecuaciones, teniendo así:

Ec. Vectorial: (r-r0) . n =0

Ec. General: Ax+By+Cz+D=0

Ec. Segmentaria: x/a + y/b + z/c = 1

Se continuo con el planteamiento y desarrollo de las ecuación del plano,
Ec. Normal: 0= xcosα + ycosβ + zcosγ - p
También se vio la normalización de la ecuación general del plano y el factor normalizante, concluyéndose que:

Adicional, se reviso la desviación de un punto respecto a un plano, donde se concluyo:

*d(+) cuando el punto y el origen están en lados opuestos con respecto al plano.

*d(-) cuando el punto y el origen están en el mismo lado con respecto al plano.

Distancia de un punto a un plano.

Se realizaron ejemplos respecto al tema y de refuerzo.

Plano determinado por 3 puntos: (r-r1).(r2-r1)*(r3-r1)=0

Aquí se dio dos observaciones:

*Si el producto mixto es igual a cero, los vectores son coplanares.

*El producto mixto geometricamente representa el volumen del paralelepípedo cuyas aristas son 3 vectores.

*Punto y vector director:

Ec. Vectorial: r=r0+ta

Ec. Paramétricas: x=xo+tl     y=yo+tm     z=z0+tn

Toda recta es un caso particular de una curva alabeada

*2 puntos:

Ec. Vectorial: r=r1+t(r2-r1)

Ec. Paramétricas: 

    x= x1+(x2-x1)t

    y= y1+(y2-y1)t

    z= z1+(z2-z1)t

Ecuación de la recta a partir de la intersección de 2 planos. 

Nos permite definir tanto la ecuación cartesiana, paramétricas y vectorial, obteniendo:

cartesianas: 

vectorial:

Haz de Planos, llegando a establecer la ecuación:

                                     

Distancia de un punto a un plano.

Funciones Vectoriales de Variable Real.

Definido como: r=I-> R^n: IcR

                       t-> F(t) =(f1(t), f2(t),...fn(t))

donde fi(t) es una función real.

Características:

*El dominio de F(t) es la intersección de los dominios de las funciones.

*El rango es la unión de los rangos de cada función.

Para una función en R3 se tiene:

F(t)= (x(t), y(t), z(t))

las funciones paramétricas son:

x(t)= F1(t)

y(t)= F2(t)

z(t)= F3(t)

Operaciones con funciones de variable real.

A partir de F(t) y G(t)

*(F+G)(t)= F(t) + G(t)

*(wF)(t) = w*F(t) 

*<F.G>(t) = <F(t) . G(t)>

*|F(t)| = (F(t))^2)^0.5

*<F*G>(t) = <F(t) * G(t)>

*|F o h | = F[h(t)]

Limites y Continuidad.

Para calcular el limite de F(t), debemos calcular el limite de cada f(t).

Por otro lado, existen 3 condiciones que se debe cumplir para que una función sea continua.

Tipos de Discontinuidad:

*Evitable: cuando no se cumple 1 y 3 se debe redefinir.

*Inevitable: cuando no se cumple 2 y tampoco 1 y 3.

Derivada:

Interpretación física y geométrica de la derivada.

Interpretación Física:

                   1.-F(t) se denomina vector tangente a la curva C en el punto Po(t-to), F'(t) representa la                               recta tangente a C en ese punto.
                   2.-El vector velocidad F(t) determina la recta tangente a C en ese punto.
                   3.-El vector aceleración es igual a F''(t)
                   4.-En R3, la rapidez se define como v=F'(t)

Interpretación Geométrica:

Aplicaciones de la derivada:
*Vector tangente unitario y normal principal
*Tangente unitario
*Normal principal

Integrales:

Triedro móvil:

*Cada par de vectores forman un plano, estos planos forman el triedro móvil.

-Plano Osculador: T y N
B1(x-x0) + B2(y-yo) + B3(z-zo) = 0

-Plano Normal: N y B
T1(x-x0) + T2(y-yo) + T3(z-zo) = 0

-Plano Rectificante: B y T
N1(x-x0) + N2(y-yo) + N3(z-zo) = 0

-Recta Tangente:
(x-x0)/T1 = (y-y0)/T2 =  (z-z0)/T3 

-Recta Normal Principal:
(x-x0)/N1 = (y-y0)/N2 =  (z-z0)/N3 

-Recta Binormal:
(x-x0)/B1 = (y-y0)/B2 =  (z-z0)/B3 

Gráficas de funciones vectoriales:

1.- Hélice circular

2.-Espiral toroidal

3.- Otras gráficas

Clases de curvatura

Curvatura de Flexión (k) Se define como la razón instantánea de cambio de dirección de los puntos de la curva C, con respecto a la longitud de arco.  

Curvatura de Torsión (T) Esta nos indica el alejamiento y acecamiento de la curva al plano osculador.

MAYO

FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

Definición Una función f de dos variables es una regla que asigna a cada par ordenado de números reales (x, y) de un conjunto D un número real único que se denota con f (x, y). El conjunto D es el dominio de f y su rango es el conjunto de valores que toma f, es decir, { f (x,y) | (x, y) € D}

Si una función f está definida por una fórmula y no se especifica dominio alguno, entonces se entiende que el dominio de f será el conjunto de los pares (x, y) para el cual la expresión dada es un número muy bien definido.

Dominio y gráfica de funciones

El conjunto D es llamado el dominio de la función y el conjunto de todos los valores de la función es el rango de la función.
Así como la gráfica de una función  f  de una variable es una curva C con ecuación y = f x, la gráfica de una función f de dos variables es una superficie S cuya ecuación es z = f (x, y). Puede representar la gráfica S de f directamente encima o abajo de su dominio D en el plano xy.

Para realizar el análisis del dominio de una función se requiere de:

1.- Análisis matemático

2.- Análisis grafico

3.- Análisis descriptivo.

Curvas de Nivel.

Una curva de nivel es el conjunto de todos los puntos en el dominio de f en el cual f toma un valor dado k. En otras palabras, señala dónde tiene una altura k la gráfica de f.

Si las curvas de nivel se representan en R2 entonces se denominan curvas de contorno.

Si w= f (x,y,z) y w=k donde k es una constante k= f (x,y,z) representa una superficie de nivel.

Si u= f (x,y,z,w) y u=k donde k es constante k= f (x,y,z,w) representa una hipersuperficie de nivel.

LÍMITES Y CONTINUIDAD

Definición Sea f una función de dos variables cuyo dominio D contiene, entre otros, puntos arbitrariamente cercanos a (a, b). Entonces, el límite de f (x,y) cuando tiende a (a, b) es L por lo que se escribe.

1. Si por 2 caminos o trayectorias el valor del límite tiene un valor diferente, entonces se concluye que no existe el límite.

2. Si por 2 o más caminos o trayectorias el valor del límite tiene el mismo valor se supone que el limite existe y se debe proceder a demostrar su existencia.

3. Los caminos elegidos para evaluar el limite deben contener al punto (a,b) de interés.

Se dice que f(x,y) es continua en (a,b) si se cumple:

Si no se cumple alguna de las condiciones entonces se dice que f(x,y) es discontinua en (a,b) y puede ser:

Discontinua Inevitable:

Discontinua Evitable:

DERIVADAS PARCIALES

Si f es una función de dos variables x y y, suponga que sólo hace variar x mientras mantiene fija a y, y =b, donde b es una constante. Entonces está considerando en realidad una función de una sola variable x, a saber, g(x) = f(x,b). Si g tiene derivada en a, entonces se denomina derivada parcial de f  con respecto a x en (a, b)  la denota con f _x(a, b). Por consiguiente.

Para calcular derivadas parciales, todo lo que debe hacer es recordar que, según la ecuación 1, la derivada parcial con respecto a x es justamente la derivada ordinaria de la función g de una sola variable que obtiene al mantener fija a y. Por lo tanto, se encuentra la regla siguiente.

1. Para determinar f_x, conservar a y constante y derivar f (x, y), y con respecto a x.

2. Para determinar f_y, conservar a x constante y derivar f (x, y), y con respecto a y.

INTERPRETACIONES DE DERIVADAS PARCIALES

Las derivadas parciales de f en (a, b) son las pendientes de las tangentes a C₁ y C₂

Interpretación Física

Las derivadas parciales de z = f(x,y) representan las razones de cambio de la variable z cuando "x" varia manteniendo fijo "y". En el otro caso, la razón de cambio de z cuando "y" varia manteniendo fijo "x".

Se puede hablar de etapas o índices de cambio.

Planos Tangentes a z= f(x,y)

Supongamos que f(x,y) tiene derivadas parciales de primer orden continuas. Entonces el plano tangente a la superficie z=f(x,y) en el punto P(a,b, f(a,b) ) es el plano que pasa por P que contiene las recta tangentes a las 2 curvas.

El vector tangente de este plano y la ecuación del plano tangente :

DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR

Se llaman segundas derivadas parciales de f. Si z= f (x,y) use la notación siguiente: